祖沖之與圓周率
祖沖之不但精通天文、歷法，他在數(shù)學(xué)方面的貢獻，特別對 圓周率 研究的杰出成就，更是超越前代，在世界數(shù)學(xué)史上放射著異彩。
我們都知道圓周率就是圓的周長和同一圓的直徑的比，這個比值是一個常數(shù)，現(xiàn)在通用希臘字母 兀 來表示。圓周率是一個永遠除不盡的無窮小數(shù)，它不能用分數(shù)、有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)完全準確地表示出來。由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的進步，已計算出了小數(shù)點后兩干多位數(shù)字的圓周率。
圓周率的應(yīng)用很廣泛。尤其是在天文、歷法方面，凡牽涉到圓的一切問題；都要使用圓周率來推算，我國古代勞動人民在生產(chǎn)實踐中求得的最早的圓周率值是 3 ，這當然很不精密，但一直被沿用到西漢。后來，隨著天文、數(shù)學(xué)等科學(xué)的發(fā)展，研究圓周率的人越來越多了。西漢末年的劉歆首先拋棄 3 這個不精確的圓周率值，他曾經(jīng)采用過的圓周率是3.1547。東漢的張衡也算出圓周率為3.1622。這些數(shù)值比起n＝3當然有了很大的進步，但是還遠遠不夠精密。到了三國末年，數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造了用割圓術(shù)來求圓周率的方法，圓周率的研究才獲得了重大的進展。
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用割圓術(shù)來求圓周率的方法，大致是這樣：先作一個圓，再在圓內(nèi)作一內(nèi)接正六邊形。假設(shè)這圓的直徑是2，那末半徑就等于l。內(nèi)接正六邊形的一邊一定等于半徑，所以也等于1；它的周長就等于6。如果把內(nèi)接正六邊形的周長6當作圓的周長，用直徑3去除，得到周長與直徑的比兀＝6/2＝3，這就是古代n＝3的數(shù)值。但是這個數(shù)值是不正確的。我們可以清楚地看出內(nèi)接正六邊形的周長遠遠小于圓周的周長。
如果我們把內(nèi)接正六地形的邊數(shù)加倍，改為內(nèi)接正十二邊形， 再用適當方法求出它的周校，那么我們就可以看出；這個周長比內(nèi)接正六邊形的周長更接近圓的周長，這個內(nèi)接正十二邊形曲面積也更接近圓面積。從這里就可以得到這樣一個結(jié)論：圓內(nèi)所做的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，它各邊相加的總長度（周長）和圓周周長之間的差額就越小。從理論上來講，如果內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)增加到無限多時，那時正多邊形的周界就會同圓周密切重合在一起；從此計算出來的內(nèi)接無限正多邊形的面積，也就和圓面積相等了人。不過事實上；我們不可能把內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)增加到無限多，（南北朝歷史 www.lishi88.cn）而使這無暇正多邊形的周界同圓周重合。只能有限度地增加內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使它的周界和圓周接近重合。所以用增加圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的辦法求圓周率，得數(shù)永遠稍小于兀的真實數(shù)值。劉徽就是根據(jù)這個道理，從圓內(nèi)接正六邊形開始，逐次加倍地增加邊數(shù)，一直計算到內(nèi)接正九十六邊形為止，求得了圓周率是3.141024。把這個數(shù)化為分數(shù)，就是157/50。劉徽所求得的圓周率，后來被稱為 微率 。他這種計算方法，實際上已具備了近代數(shù)學(xué)中的極限概念；這是我國古代關(guān)于圓周率的研究的二個光輝成就。 中小學(xué)生語文題庫，中小學(xué)學(xué)生語文試卷，就來<A http://www.zequeka.cn/yuwentiku/>易優(yōu)語文題庫</a>。
祖沖之在推求圓周率方面又獲得了超越前人的重大成就。根據(jù)《隋書 律歷志》的記載，祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直徑求圓周率'他計算的結(jié)果共得到兩個數(shù)：一個是盈數(shù)（即過剩的近似值），為3.1415927；一個是肭數(shù)（即不足的近似值），為3.1415926圓周率真值正好在盈晌兩數(shù)之間。《隋書》只有這樣簡單的記載，沒有具體說明他是用什么方法計算出來的；不過從當時的數(shù)學(xué)水平來看，除劉徽的割圓術(shù)外，還沒有更好的方法。祖沖之很可能就是采用了這種方法。因為采用劉徽的方法，把圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)增多到24576邊時，便恰好可以得出祖沖之所求得的結(jié)果。
盈肭兩數(shù)可以列成不等式，如：3.1415926（肭）＜兀（真實的圓周率）＜3.1415927（盈）；這表明圓周率應(yīng)在盈肭兩數(shù)之間。按照當時計算都用分數(shù)的習慣，祖沖之還采用了兩個分數(shù)值的圓周率。一個是355/113（約等于3.1415927），這一個數(shù)比較精密，所以祖沖之稱它為 密率 。另一個是手（約等于3.14），這一個數(shù)比較粗疏，所以祖沖之稱它為 約率 。在歐洲，直到1573年才由德國數(shù)學(xué)家握脫求出了355/113這個數(shù)值。因此，日本數(shù)學(xué)家三上義夫曾建議把355/113這個圓周率數(shù)值稱為 祖率 ，來紀念這位中國的大數(shù)學(xué)家。 語文成績好，書法少不了，學(xué)書法，推薦<A http://www.zequeka.cn/miniform/type_3.html>易優(yōu)練字</a>
由于祖沖之所著的數(shù)學(xué)專著《綴術(shù)》已經(jīng)失傳《隋書》又沒有具體地記載他求圓周率的方法，因此，我國研究祖國數(shù)學(xué)遺產(chǎn)的專家們，對于他求圓周率的方法還有不同的、見解。
有人認為祖沖之圓周率中的 肭數(shù) 。是用作圓的內(nèi)接正多邊形的方法求得的；而 盈數(shù) 則是用作圓的外切正多邊形的方法求得的。祖沖之如果繼續(xù)用劉徽的辦法，從圓的內(nèi)接亞六邊形算起，逐次加倍邊數(shù)，一直算到內(nèi)接正24576邊形時，它的各邊長度總和只能逐次接近并較小于圓周的周長，這正多邊形的面積也只能逐次接近并較小于圓面積，從此求出的圓周率為3.14159261，也只能小于圓周率的真實數(shù)值，這就是腕數(shù)。從祖沖之的數(shù)學(xué)水平來看，突破劉徽的方法，從外切正六邊形算起，逐次試求圓周率，也是可能的。如果祖沖之把外切正六邊形的邊數(shù)成倍增加，到正24576邊形時，他所求得的圓周率應(yīng)該是3.14159270208。這個數(shù)是用外切方法求得的。由于外切正多邊形各邊邊長的總和永遠大于圓周的長度，這正多邊形的面積也永遠大于圓面積，所以這個數(shù)總比真實的圓周率大。用四舍五入法舍去小數(shù)點七位以后的數(shù)字，就得出盈數(shù)。 蘇州少兒書法培訓(xùn)，推薦<A http://www.zequeka.cn/Miniform/tYpe_3.html>易優(yōu)少兒書法培訓(xùn)</a>，語文成績好，書法少不了。
祖沖之究竟是否同時用過內(nèi)接和夕H3這兩個方法求出圓周率的肭數(shù)相盈數(shù)，是沒有確切史料可以證實的。但是采用這個辦法所求出的月（肉）、盈兩個數(shù)值，和祖沖之原來所求出的結(jié)果大體是一致的。所以有些數(shù)學(xué)史家認為祖沖之曾用過作圓的外切正多邊形的方法求得圓周率，是很近情理的推想。
但是根據(jù)另一些數(shù)學(xué)史家的研究，盈、月（肉）兩數(shù)也可以由計算圓內(nèi)接正l2288邊形和正24576邊形的邊長而得出來。不過這種計算比較難懂。這里不說了。
盡管說法有出入，但是祖沖之曾經(jīng)求得 密率 ，并且明確他用上、下兩限來說明圓周率這個數(shù)bxl近況值的范圍，是可以肯定的。在一千五百年前，他有這樣的成就和認識，真值得我。們欽佩。
在推算圓周率時，祖沖之付出了不知多少辛勤的勞動。如果從正六邊形算起；算到24576邊時，就要把同一運算程序反復(fù)進行十二次，而且每一運算程序又包括加減乘除和開方等十多個步驟。我們現(xiàn)在用紙筆算盤來進行這樣的計算，也是極其吃力的。當時祖沖之進行這樣繁難的計算，只能用籌碼（小竹棍）來逐步推演。如果頭腦不是十分冷靜精細，沒有堅韌不拔的毅力，是絕對不會成功的。祖沖之頑強刻苦的研究精神，是很值得推崇的。
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祖沖之死后，他的兒子祖日（恒）繼續(xù)父親的研究，進一步發(fā)現(xiàn)了計算圓球體積的方法。
在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，曾列有計算圓球體積的公式，但很不精確。劉徽雖然曾經(jīng)指出過它的錯誤，但究競應(yīng)當怎樣計算，他也沒有求得解決。經(jīng)祖日（恒）刻苦鉆研，終于找到了正確的計算方法。他所推算出的計算圓球體積的公式是：圓球體積＝兀/6D3（D代表球體直徑）。這個公式一直到今天還被人們采用著。
祖沖之還曾寫過《綴術(shù)》五卷，是一部內(nèi)容極為精采的數(shù)學(xué)書，很受人們重視。唐朝的官辦學(xué)校的算學(xué)科中規(guī)定：學(xué)員要學(xué)《綴術(shù)》四年；政府舉行數(shù)學(xué)時，多從《綴術(shù)》中出題。旨來這部書曾經(jīng)傳到朝鮮和日本?？上У搅吮彼沃衅?，這部有介值的著作竟失傳了。
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