楊輝是著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，他是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家，他為初學(xué)者制訂的“習(xí)算綱目”是中國數(shù)學(xué)教育史上的重要文獻(xiàn)。 楊輝三角：楊輝在《詳解九章算法》一書中畫了一張表示二項式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱為“開方做法本源”，現(xiàn)在簡稱“楊輝三角”。這一研究比歐洲早了近400年。
從實踐出發(fā)的數(shù)學(xué)教育思想
中國古代數(shù)學(xué)是隨著算籌的發(fā)明而形成的。算籌，簡稱“算”、“籌”、“策”等，也稱“籌策”，是中國古代用于計算的工具。一般用竹制成，也有用鐵制、骨制或象牙制的。用算籌擺成數(shù)學(xué)進(jìn)行計算稱之為籌算。在珠算發(fā)明以前，數(shù)學(xué)計算都是用算籌來進(jìn)行，所以“算術(shù)”的原義是即指籌算的技術(shù)。
與毛算一樣，籌算的基礎(chǔ)也是加、減、乘、除四則運算。加、減法比較簡單，直接通過添上、退下算籌的方法就可以了，也就是擺上兩行數(shù)字，從左到右逐位相加或相減，和或差置于第三行中。在加減運算的基礎(chǔ)之上，乘除運算按照“九九乘法表”來完成。其中除法是作為乘法的逆運算來進(jìn)行的。由于古代的算籌乘除法都要排列成上、中、下三行來進(jìn)行運算，所以演算過程相當(dāng)復(fù)雜。
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籌算在我國古代用了大約兩千年，在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)以至人民生活中，都發(fā)揮了重大的作用。但是，它的缺點也是十分明顯的。首先，在室外拿著一大把算籌進(jìn)行計算就很不方便；其次，計算數(shù)字的位數(shù)越多，所需要的面積也就越大，這在無形之中就受到了環(huán)境和條件的限制；此外，當(dāng)計算速度加快的時候，還很容易由于算籌擺弄不正而造成錯誤。隨著社會的發(fā)展，計算技術(shù)要求越來越高，這就需要算籌也要相應(yīng)的進(jìn)行改革，這也是勢在必行的。這個改革從中唐以后的商業(yè)實用算術(shù)開始，經(jīng)宋、元時代的發(fā)展，就出現(xiàn)了大量的計算歌訣，到元末明初珠算的普遍應(yīng)用，歷時七百多年。
在《新唐書》中就記載了這個時期出現(xiàn)的大量著作。由于封建統(tǒng)治階級對民間數(shù)學(xué)十分輕視，以致這些著作的絕大部分已經(jīng)失傳。從遺留下來的著作中可以看出，籌算的改革是從籌算的簡化開始而不是從工具改革開始的，這個改革最后導(dǎo)致珠算的出現(xiàn)。 易優(yōu)作文網(wǎng)名師改作文（http://www.zequeka.cn/jiaoshoulanmu/ ）
一般來說，用算籌計算，效率是很低的。隨著生產(chǎn)的發(fā)展，商品交換的日益頻繁，需要計算的量越來越多，于是算籌有待改進(jìn)，就是很自然的事情了。宋代，對籌算作了兩方面的改進(jìn)，一是將古代上、中、下三行的算法變?yōu)樵谝粋€橫行里完成，另一方面是引用了大量的運算口訣。這些口訣瑯瑯上口，使運算步驟得以簡化，運算速度有了提高。楊輝就是在這種背景之下，繼承并發(fā)展了唐、宋數(shù)學(xué)家以加減代乘除的思想方法，并對乘除算法加以創(chuàng)新，提出了很多乘除運算的簡捷算法。為了得心應(yīng)手，勞動人民便創(chuàng)造出更加先進(jìn)的計算工具——珠算盤。
中國古代數(shù)學(xué)源遠(yuǎn)流長，自漢代起，就形成了以籌算為基礎(chǔ)、具有獨特風(fēng)格的初等數(shù)學(xué)體系，后經(jīng)魏、晉、南北朝、隋唐以來千余年的積累和發(fā)展，在進(jìn)入兩宋以后，中國古代數(shù)學(xué)開始出現(xiàn)空前繁榮的景象，歷史上一批重要的科學(xué)家就出現(xiàn)在這一時期，如賈憲、劉益、沈括、秦九韶、李冶和楊輝等。
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在古城錢塘（今杭州），有一位少年，他自幼聰明好學(xué)，尤其喜愛數(shù)學(xué)。但由于當(dāng)時數(shù)學(xué)書籍很少，這個少年只能零碎地收集一些民間流傳著的算題，并反復(fù)研究，從中增長知識。
一天，這個少年無意中聽說一百多里的郊外有位老秀才，不僅精通算學(xué)，而且還珍藏了許多《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》等古代數(shù)學(xué)名著，非常高興，急忙趕去。
老秀才問明來意后，望了望這位少年，不屑地說：“小子不去讀圣書，要學(xué)什么算學(xué)？！”
但少年仍苦苦哀求，不肯走。老秀才無奈，于是說：“好吧，聽著！‘直田積八百六十四步，只云闊不及長十二步，問長闊共幾何？’（用現(xiàn)在的話來說就是：長方形面積等于864平方步，已知它的寬比長少12步；問長和寬的和是多少步？）你回去慢慢算吧，什么時候算出來，什么時候再來”。說完便往椅子上一靠，閉目養(yǎng)起神來，心里卻暗暗發(fā)笑：“這小子一定犯難了，這道題老朽才剛剛理出點頭緒（此題的解法一般要用到二次方程），即使他懂得算學(xué)，那一年半載也是算不出來的?！? 中小學(xué)生語文題庫，中小學(xué)學(xué)生語文試卷，就來<A hTTps://wEw.euzW.net/yUweNtiku/>易優(yōu)語文題庫</a>。
誰料，正當(dāng)老秀才閉目思量時，少年說話了：“老先生，學(xué)生算出來了，長闊共60步?！薄笆裁?？！”老秀才一聽，驚奇地從椅子上跳起來，一把奪過少年演算出來的草稿紙瞪大了眼睛看起來：“啊，這小子是從哪里學(xué)來的？居然用這么簡單的方法就算出來了。妙哉！老朽不如?！崩闲悴呸D(zhuǎn)過臉來，對少年夸獎道：“神算，神算，怠慢了，請問高姓大名？”“學(xué)生楊輝，字謙光?！鄙倌旯Ь吹鼗卮?。
后來，在老秀才的指導(dǎo)下，楊輝通讀了許多古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，數(shù)學(xué)知識得到全面、系統(tǒng)地發(fā)展。經(jīng)過不懈的努力，楊輝終于成了我國古代杰出的數(shù)學(xué)家，并享有數(shù)學(xué)“宋元第三杰”之譽。
算學(xué)制度始于北宋初年，但宋初并不重視算學(xué)，至宋神宗元豐年間才開始頒布條例。并于元豐七年（1084年）刻《算經(jīng)十書》于秘書省。宋哲宗元初年的時候，朝廷打算重修算學(xué)，但有困難。宋徽宗崇寧三年（1104年）的時候才正式重修算學(xué)。 作文培訓(xùn)網(wǎng)站推薦，<a http://www.zequeka.cn>易優(yōu)作文網(wǎng)</a>。
由此可見，到崇寧三年（1104年）的時候，才正式建立算學(xué)，即國家培養(yǎng)算學(xué)、歷法人才的?？茖W(xué)校。當(dāng)時招收的生員為二百一十人，主要學(xué)習(xí)各種算法以及歷算、三式、天文書等，學(xué)業(yè)期滿，如太學(xué)按三舍法“推恩、通仕、登仕、將侍郎”等。到了北宋末年，算學(xué)制度頒布了可謂很多，但南宋初年，州、縣學(xué)皆因戰(zhàn)亂而停廢，宋高宗紹興十二年（1142年），宋金和議后，才漸次恢復(fù)。
因為時局的緣故，算學(xué)的招生生源匱乏，朝廷也是命太史局多次招生，同時要求太史局諸官有缺必須通過秘書省的公試來補，否則一律無效。以上為《宋史》記載的關(guān)于南宋數(shù)學(xué)官方教育發(fā)展的情況。事實上，南宋的官學(xué)教育是地地道道的“應(yīng)試教育”，早已徹頭徹尾地淪為了科舉制度的附庸，教育也并無自主性和獨立性可言。我國的古代社會一向重文不重理，南宋王朝又是在戰(zhàn)亂中由于人民的堅決抗敵才得以偏安一隅的，所以官方的算學(xué)即數(shù)學(xué)教育遠(yuǎn)不如北宋。雖然南宋官學(xué)時興時廢，但另一方面，私學(xué)卻得到了興起。各類蒙學(xué)教育和精舍教育相較于北宋則有了更長足的發(fā)展。除官學(xué)和私學(xué)外，南宋的書院教育更是達(dá)到了鼎盛時期。這些使得數(shù)學(xué)在擺脫了科舉制度的束縛之后反而有了新的進(jìn)步。
從另一面來說，唐代中期以后，社會經(jīng)濟(jì)得到較大發(fā)展，手工業(yè)和商業(yè)交易都具有相當(dāng)?shù)囊?guī)模，因而，人們在生產(chǎn)、生活中需要數(shù)學(xué)計算的機會，較前大大增加，這種情況迫切要求數(shù)學(xué)家們?yōu)槿藗兲峁┍阌谡莆?、快捷準(zhǔn)確的計算方法。為適應(yīng)社會對數(shù)學(xué)的這種需求，中晚唐時期出現(xiàn)了一些實用的算術(shù)書籍。但是，這些書籍除了《韓延算術(shù)》被宋人誤認(rèn)為《夏侯陽算經(jīng)》而坎坷流傳到現(xiàn)在外，其余都已失傳。
《韓延算術(shù)》大約編寫于770年前后，書中介紹了很多乘除捷算法的例子。比如，某數(shù)乘以42可以化為某數(shù)乘以6，再乘以7；某數(shù)除以12可以化為某數(shù)除以2，再除以6。對于更復(fù)雜的問題可同樣處理。通過將乘數(shù)、除數(shù)分解為一位數(shù)，可以使運算在一行內(nèi)實現(xiàn)，簡化了運算，提高了速度。楊輝的數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教育工作之重點在于改進(jìn)籌算乘除計算技術(shù)，總結(jié)各種乘除捷算法，這是由當(dāng)時的社會狀況決定的。楊輝生活在南宋商業(yè)發(fā)達(dá)的蘇杭一帶，這為進(jìn)一步發(fā)展乘除的算法也提供了條件。
楊輝說：“乘除者本鉤深致遠(yuǎn)之法。《指南算法》以‘加減’、‘九歸’、‘求一’旁求捷徑，學(xué)者豈容不曉，宜兼而用之。”在前人的基礎(chǔ)上，他提出了“相乘六法”：一曰“單因”，即乘數(shù)為一位數(shù)的乘法；二曰“重因”，即乘數(shù)可分解為兩個一位數(shù)的乘積的乘法；三曰“身前因”，即乘數(shù)末位為一的兩位數(shù)乘法，比如257×21=257×20+257，實際上，身前因就是通過乘法分配律將多位數(shù)乘法化為一位數(shù)乘法和加法來完成。四曰“相乘”，即通常的乘法；五曰“重乘”，就是乘數(shù)可分解為兩因數(shù)的積，作兩次相乘；六曰“損乘”，是一種以減代乘法，比如，當(dāng)乘數(shù)為9、8、7時，可以10倍被乘數(shù)中，減去被乘數(shù)的—、二、三倍。楊輝還進(jìn)一步發(fā)展了唐宋相傳的求一算法，總結(jié)出了“乘算加法五術(shù)”、“除算減法四術(shù)”。求一實際上就是通過倍、折、因?qū)⒊顺龜?shù)首位化為一，從而用加減代乘除。楊輝的“乘算加算加法五術(shù)”，即“加一位”、“加二位”、“重加”、“加隔位”、“連身加”。乘數(shù)為11至19的，用加一位；乘數(shù)為101至199的，用加二位法；乘數(shù)可分為兩因數(shù)的積，且可用加一或加二時，稱為重加；乘數(shù)為101至109時，用隔位加；乘數(shù)為21至29、201至299時，用連身加。例如，342×56的計算，用現(xiàn)代符號寫出，便是：342×56=342×112÷2=（34200+342×12）÷2=（34200+3420+342×2）÷2。其“除算減法四術(shù)”即“減一位”、“減二位”、“重減”、“減隔位”，用法與乘算加法類似。
北宋初年出現(xiàn)的一種除法——增成法，在楊輝那里得到進(jìn)一步的完善。增成法的優(yōu)點在于用加倍補數(shù)的辦法避免了試商，但對于位數(shù)較多的被除數(shù)，運算比較繁復(fù)，后人改進(jìn)了它，總結(jié)出了“九歸古括”，包含44句口訣。楊輝在其《乘除通變算寶》中引《九歸新括》口訣三十二句，分為“歸數(shù)求成十”、“歸數(shù)自上加”、“半而為五計”三類。
客觀上講，楊輝不遺余力改進(jìn)計算技術(shù)，大大加快了運算工具改革的步伐。隨著籌算歌訣的盛行，運算速度大大加快，以至人們感覺到擺弄算籌跟不上口訣。在這樣的背景下，算盤便應(yīng)運而生了，及至元末，已經(jīng)廣為流行。
楊輝非常重視數(shù)學(xué)的普及及教育工作，他主張在數(shù)學(xué)教育中要貫徹“須責(zé)實有”的教育思想。所謂“須責(zé)實有”就數(shù)學(xué)教育的教材內(nèi)容必須和社會生產(chǎn)、生活實踐相結(jié)合，所提出的問題必須來自于生產(chǎn)和生活實際。因為普通大眾在生活和生產(chǎn)實際中對于數(shù)學(xué)的需求越來越多，這才使是楊輝對于數(shù)學(xué)的鉆研更多側(cè)重于實用算術(shù)方面，尤其是對于籌算乘除算法的簡便運用上更是花費了大量的心思和精力。
例如，在楊輝的著作《乘除通變本末》三卷中，幾乎每一道題都是跟生活中的經(jīng)濟(jì)、納稅、農(nóng)業(yè)、商務(wù)等有關(guān)系。
細(xì)物一十二斤半，稅一。今有二千七百四十六斤，問稅幾何。
粟二千七百四十六石，給一千一百一十一人，問各幾何。
在納頭子錢一十九貫一百五十二文，問本稅錢若干。
二百三十八畝，每畝收粟二石七斗，問共幾何。
絹一萬三千一百五十二尺，問為絹幾匹。
直田長九十步，闊七十步，問積步。
木炭七千五十六斤，各支百四十七斤，問人數(shù)。
開渠積六千八百三十七尺，共用一百五十九工，問一工取土多少。
另外，在《田畝比類乘除捷法》中所涉及到的幾何圖形名稱無不是取自于生活實際當(dāng)中。如：“直田、方田、圓田、圭田、梯田、牛角田、蕭田、墻田”等。這些名稱對應(yīng)著我們現(xiàn)代的幾何圖形分別為“長方形、正方形、圓形、圓環(huán)形、三角形梯形，不規(guī)則四邊形，倒梯形、半梯形”等。另還有諸如“腰鼓田、鼓田”等。在書中，楊輝還多五次提到“臺州量田圖”的問題：
臺州量田圖，有牛角田，用弧矢四法。
臺州黃巖縣圍量田圖，有梭田樣，即二圭田相并，今立小題驗之。
臺州量田圖，有曲尺田，內(nèi)曲十二步，外曲二十六步，兩頭各廣七步，問田幾何。
臺州量田園，有箭翎田，中長八步，東西兩畔各長四步，闊一十二步，問田幾何。
可見，楊輝對臺州非常熟悉，他編入自己書中的這些題目無一不是來自于他工作和生活的實際，如果沒有豐富的第一手資料，他很難詳盡地敘述并運用這些數(shù)據(jù)，這種與實際緊密結(jié)合，進(jìn)行數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教學(xué)的方法，是楊輝數(shù)學(xué)教育思想的主要特點，也是中國古代數(shù)學(xué)家們的優(yōu)良傳統(tǒng)之一。為了使數(shù)學(xué)知識能為普通百姓所理解和掌握，楊輝在編寫數(shù)學(xué)教材的時候，常常把很多深奧的內(nèi)容用最便于群眾的“歌訣”方式表達(dá)出來。這恰恰也是中國古代民間數(shù)學(xué)的特色之一。如“求一乘法”和“求一除法”歌訣：
求一乘法：五六七八九，倍之?dāng)?shù)不走；
二三須當(dāng)半，遇四兩折紐；
倍折本從法，實即反其有；
用本以代乘，斯數(shù)足可守。
求一除法：五六七八九，倍之?dāng)?shù)不走；
二三須當(dāng)半，遇四兩折紐；
倍折本從法，為除積相就；
用減以代除，定位求如舊。
這樣的歌訣就是普通百姓生活中最常見的歌謠，通俗易懂，押韻順口。這對于人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的幫助是顯而易見的了。楊輝就是用這樣的方式培養(yǎng)人們對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。楊輝的數(shù)學(xué)并不傾向于高深的理論研究，更多都是粗淺的側(cè)重于基礎(chǔ)知識的實用數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)來自日常生活，又為日常生活服務(wù)，這樣楊輝的數(shù)學(xué)在民間便得到了更加廣泛的流傳和普及。
在教新水滸q傳yy熊卡學(xué)方法上，楊輝主張循序漸進(jìn)，精講多練。先熟練習(xí)題的運算，之后再總結(jié)算理、算法?！冻顺ㄗ儽灸芬粫?，開篇便列有“習(xí)算綱目”，可以說是中國數(shù)學(xué)教育史上最早的一份數(shù)學(xué)教育教學(xué)大綱。這份數(shù)學(xué)大綱包括了學(xué)習(xí)進(jìn)度、學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)材料以及一些學(xué)習(xí)重點、難點的提示等。
在“習(xí)算綱目”中，楊輝非常強調(diào)對習(xí)題的熟練運算，練習(xí)的時間一般都要比正課多好幾倍的時間，有的甚至幾十倍，“習(xí)算綱目”通篇體現(xiàn)了楊輝由易到難、由淺入深、循序漸進(jìn)的數(shù)學(xué)思想以及先熟練運算再明算理的數(shù)學(xué)主張。
第一階段，先學(xué)“九九合數(shù)”，即九九乘法表?！耙灰坏靡?，至九九八十一”，隨后安排學(xué)習(xí)的內(nèi)容和進(jìn)度。學(xué)習(xí)“相乘”，講課一日，溫習(xí)五日；“商除”講課一日，但溫習(xí)半個月。以上二種方法，都是從一位數(shù)到六位以上數(shù)的運算。
第二階段，學(xué)習(xí)有關(guān)乘除的替代算法。學(xué)加法起例并定位，功課一日，溫習(xí)三日；學(xué)減法起便并定位，功課一日，用五日溫習(xí)等。除了計算法之外，楊輝還指出在熟練運算之后，一定要知道算理的重要性。
第四階段，就學(xué)習(xí)“通分”和“開方”了。通常人們認(rèn)為“通分”很麻煩，但楊輝卻要求學(xué)生不要認(rèn)為有什么可麻煩的，認(rèn)真學(xué)一下就好了。他將這些復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識化簡，化難為易，在編教材時充分考慮學(xué)生的心理和知識發(fā)展水平，盡量使深奧的數(shù)學(xué)知識變得更加直觀、通俗，使之更容易推廣、普及。這種利用社會生活中的課程資源進(jìn)行是便于普通讀者接受，也便于發(fā)揮社會效益，同時也便于學(xué)生能力的培養(yǎng)。
然后學(xué)習(xí)“開方”?！伴_方”是數(shù)學(xué)中用途很廣泛的一部分知識，而且其本身就有七部分知識，即“開平方、開立方、開平圓、開立圓、開分子方、開三乘以上方和帶從開方”。所以學(xué)習(xí)起來自然就要多花些時日，邊學(xué)邊研究，在學(xué)習(xí)方法上，楊輝提倡熟讀精思，融匯貫通；提倡對知識的理解，反對死記硬背，直到能做到融會貫通，活學(xué)活用的程度為止。
最后一個階段，就是要學(xué)習(xí)傳統(tǒng)的《九章算術(shù)》了。經(jīng)過前面幾個階段的基礎(chǔ)知識訓(xùn)練之后，在熟練掌握各種算法的基礎(chǔ)之上再來學(xué)《九章算術(shù)》難度就不大了。
在教學(xué)方面，楊輝認(rèn)為，教師編書或講課時，應(yīng)該用算法統(tǒng)帥習(xí)題。要說明一種算法，都要先設(shè)置一種數(shù)學(xué)問題。每種算法都要有相應(yīng)的數(shù)學(xué)題目來驗證和練習(xí)。在要求學(xué)生進(jìn)行大量的習(xí)題訓(xùn)練的同時，楊輝還強調(diào)要精選例題，并且在講清楚算法的來龍去脈之后，啟發(fā)、引導(dǎo)之中要觸類旁通，并提高學(xué)習(xí)上的自覺性和主動性?？梢?，楊輝對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論知識和運用練習(xí)題來理解并加以鞏固，這兩者之間的重要關(guān)系有著很深刻的認(rèn)識。
楊輝一生治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，教學(xué)一絲不茍，他的這些教育思考和方法，至今也有很重要的參考價值。
偉大經(jīng)典的數(shù)學(xué)著述
楊輝曾做過地方官，足跡遍及錢塘、臺州（今浙江臨海）、蘇州等地。與他同時代的陳幾先稱贊他為人儒雅謙和、公正廉潔。楊輝特別注意社會上有關(guān)數(shù)學(xué)的問題，多年從事數(shù)學(xué)研究和教學(xué)工作，是東南一帶有名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。他走到哪里都有人請教數(shù)學(xué)問題。從1261年到1275年的十五年中，他先后完成數(shù)學(xué)著作五種二十一卷，即《詳解九章算法》十二卷，《日用算法》二卷，《乘除通變本末》三卷，《田畝比類乘除捷法》二卷和《續(xù)古摘奇算法》二卷（其中《詳解》和《日用算法》已非完書），后三種合稱為《楊輝算法》。
有一次，楊輝得到一本《黃帝九章算法細(xì)草》，這是北宋數(shù)學(xué)家賈憲寫的。這里面有不少了不起的成就，如賈憲描畫了一張圖，叫作“開方作法本源圖”。
楊輝繼承中國古代數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，他廣征博引數(shù)學(xué)典籍，引用了現(xiàn)已失傳的宋代的許多算術(shù)，比如劉益的“正負(fù)開方術(shù)”，賈憲的“開方作法本源圖”、“增乘開方法”，幸得楊輝引用，否則，今天將不復(fù)為我們知曉。他先后完成數(shù)學(xué)著作五種二十一卷，即《詳解九章算法》十二卷（1261年），《日用算法》二卷（1262年），《乘除通變本末》三卷（1274年），其中《乘除通變本末》三卷，上卷叫《算法通變本末》，中卷叫《乘除通變算寶》，下卷叫《法算取用本末》，下卷是與史仲榮合撰的。
另一方面，他在宋度宗咸淳年間的兩本著作里，亦有提及當(dāng)時南宋的土地價格。這些資料對后世史學(xué)家了解南宋經(jīng)濟(jì)發(fā)展有很重要的幫助。楊輝在著作中收錄了不少現(xiàn)已失傳的、古代各類數(shù)學(xué)著作中很有價值的算題和算法，保存了許多十分寶貴的宋代數(shù)學(xué)史料。他對任意高次冪的開方計算、二項展開式、高次方程的求解、高階等差級數(shù)、縱橫圖等問題，都有精到的研究。楊輝十分留心數(shù)學(xué)教育，并在自己的實踐中貫徹其教育思想。
楊輝更對于垛積問題（高階等差級數(shù)）及幻方作過詳細(xì)的研究。由于他在他的著作里提及過賈憲對二項展開式的研究，所以“賈憲三角”又名“楊輝三角”。這比歐洲于17世紀(jì)的同類型的研究“帕斯卡三角形”早了差不多五百年。
楊輝在《詳解九章算法》一書中還畫了一張表示二項式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”。
楊輝三角是一個由數(shù)字排列成的三角形數(shù)表，簡單來說就是兩個未知數(shù)和的冪次方運算后的系數(shù)問題，比如（x+y）2等于x2+2xy+y2，這樣系數(shù)就是1、2、1，這就是楊輝三角的其中一行，立方，四次方，運算的結(jié)果看看各項的系數(shù)。
楊輝三角與我們現(xiàn)在的學(xué)習(xí)聯(lián)系最緊密的是2項式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律。如圖，在楊輝三角中，第3行的第三個數(shù)恰好對應(yīng)著兩數(shù)和的平方公式，依次下去楊輝三角是一個由數(shù)字排列成的三角形數(shù)表。
楊輝三角最本質(zhì)的特征是，它的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個數(shù)之和。
為普及日常所用的數(shù)學(xué)知識，楊輝專門寫了《日用算法》一書，并提出務(wù)必要從實踐出發(fā)的原則。書中的題目全部取自社會生活，多為簡單的商業(yè)問題，也有土地丈量、建筑和手工業(yè)問題。這種應(yīng)用數(shù)學(xué)是便于普通讀者接受，也便于發(fā)揮社會效益的。這本《日用算法》，可惜早已失傳，僅有幾個題目留傳了下來。從《算法雜錄》所引楊輝自序可知該書內(nèi)容梗概：“以乘除加減為法，秤斗尺田為問，編詩括十三首，立圖草六十六問。用法必載源流，命題須責(zé)實有，分上下卷。”該書無疑是一本通俗的實用算書。
《乘除通變本末》三卷，皆各有題，在總結(jié)民間對等算乘除法的改進(jìn)上作出了重大貢獻(xiàn)。上卷叫《算法通變本末》，首先提出“習(xí)算綱目”，是數(shù)學(xué)教育史的重要文獻(xiàn)，又論乘除算法；中卷叫《乘除通變算寶》，論以加減代乘除、求一、九歸諸術(shù)；下卷叫《法算取用本末》，是對中卷的注解。
楊輝在臺州任知府的時候，有一年春天，楊輝想出外巡游、踏青，一路上，迷人的芳香的氣息撲鼻而來，杜鵑隱藏在果樹的枝頭，用它那圓潤、甜蜜、動人心弦的鳴囀來喚醒春天的生機，成群的畫眉鳥像迎親似的蹲在樹的枝丫上，發(fā)出婉麗的啼聲。楝樹、花梨樹和栗樹都仿佛被自身的芬芳熏醉了。楊輝撩起轎簾，看那雜花生樹，飛鳥穿林，真乃春色怡人淡復(fù)濃，喚侶黃鸝弄曉風(fēng)。更是一年好景，旖旎風(fēng)光。
走著、走著，只見開道的鏜鑼停了下來，前面?zhèn)鱽砗⑼拇舐暫敖新?，接著是衙役惡狠狠的訓(xùn)斥聲。楊輝忙問怎么回事，差人來報：“孩童不讓過，說等他把題目算完后才讓走，要不就繞道?！?
楊輝一看來了興趣，連忙下轎抬步，來到前面。衙役急忙說：“是不是把這孩童哄走？”楊輝摸著孩童頭說：“為何不讓本官從此處經(jīng)過？”孩童答道：“不是不讓經(jīng)過，我是怕你們把我的算式踩掉，我又想不起來了?！?
“什么算式？”
“就是把一到九的數(shù)字分三行排列，不論直著加，橫著加，還是斜著加，結(jié)果都是等于十五。我們先生讓下午一定要把這道題做好。我正算到關(guān)鍵之處呢。”孩童一臉天真地說。
楊輝連忙蹲下身，仔細(xì)地看那孩童的算式，覺得這個數(shù)字好像從哪見過，仔細(xì)一想，原來是西漢學(xué)者戴德編纂的《大戴禮》書中所寫的文章中提及的。楊輝和孩童倆人連忙一起算了起來，直到天已過午，倆人才舒了一口氣，結(jié)果出來了，他們又驗算了一下，覺得結(jié)果全是十五，這才站了起來。
孩童望著這位慈祥和善的地方官說：“耽擱你的時間了?！睏钶x一聽，說：“我想見一見你的先生，你看如何？”
孩童望著楊輝，淚眼汪汪，楊輝心想，這里肯定有什么蹊蹺，溫和地問道：“到底是怎么回事？”孩童這才一五一十把原因道出：原來這孩童并未上學(xué)，家中窮得連飯都吃不飽，哪有錢讀書。而這孩童給地主家放牛，每到學(xué)生上學(xué)時，他就偷偷地躲在學(xué)生的窗下偷聽，今天上午先生出了這道題，這孩童用心自學(xué)，終于把它解決了。
楊輝聽到此，感動萬分，一個小小的孩童，竟有這番苦心，實在不易。便對孩童說：“這是十兩銀子，你拿回家去吧。你領(lǐng)我去學(xué)堂，好吧？”
孩童就帶著楊輝找到了先生，楊輝把這孩童的情況向先生說了一遍，又掏出銀兩，給孩童補了名額，孩童感激不盡。自此，這孩童方才有了真正的先生。
教書先生對楊輝的清廉為人非常敬佩，于是倆人談?wù)撈饠?shù)學(xué)。楊輝說道：“方才我和孩童做的那道題好像是《大戴禮》書中的？”先生笑著說：“是啊，《大戴禮》雖然是一部記載各種禮儀制度的文集，但其中也包含著一定的數(shù)學(xué)知識。方才你說的題目，就是我給孩子們出的數(shù)學(xué)游戲題?！?
教書先生看到楊輝疑惑的神情，又說道：“南北朝的甄鸞在《數(shù)術(shù)記遺》一書中就寫過：‘九宮者，二四為肩，六八為足，左七右三，戴九履一，五居中央?！?
楊輝默念一遍，發(fā)現(xiàn)他說的正與上午他和孩童擺的數(shù)字一樣，便問道：“你可知道這個九宮圖是如何造出來的？”教書先生也不知出處。楊輝回到家中，反復(fù)琢磨，一有空閑就在桌上擺弄著這些數(shù)字，終于發(fā)現(xiàn)一條規(guī)律。
他把這條規(guī)律總結(jié)成四句話：九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。就是說：一開始將九個數(shù)字從大到小斜排三行，然后將9和1對換，左邊7和右邊3對換，最后將位于四角的4、2、6、8分別向外移動，排成縱橫三行，就構(gòu)成了九宮圖。
縱橫圖最早起源于中國，通常人們知道最早的幻方就是我國著名的“九宮圖”，早在漢鄭玄《易緯注》及《數(shù)術(shù)記遺》中都記載有“九宮”即三階幻方，千百年來一直被人披上了神秘的色彩。
幻方的幻在于無論取哪一條路線，最后得到的和或積都是完全相同的。關(guān)于幻方的起源，中國有“河圖”和“洛書”之說。相傳在遠(yuǎn)古時期，伏羲氏取得天下，把國家治理得井井有條，感動了上天，于是黃河中躍出一匹龍馬，背上馱著一張圖，作為禮物獻(xiàn)給他，這就是“河圖”，也是最早的幻方。又傳洛水河中浮出一只神龜，龜背上有一張象征吉祥的圖案稱為“洛書”。他們發(fā)現(xiàn)，這個圖案每一列，每一行及對角線，加起來的數(shù)字和都是一樣的，這就是我們現(xiàn)在所稱的幻方。也有人認(rèn)為“洛書”是外星人遺物；而“河圖”則是描述了宇宙生物（包括外星人）的基因排序規(guī)則，幻方是外星人向地球人的自我介紹。
另外前幾年在上海浦東陸家嘴地區(qū)出土了一塊元朝時代伊斯蘭教信徒所掛的玉掛，玉掛的正面寫著：“萬物非主，惟有真宰。”伏羲氏憑借著“河圖”而演繹出了八卦，后來大禹治洪水時，洛水中浮出一只大烏龜，它的背上有圖有字，人們稱之為“洛書”。“洛書”所畫的圖中共有黑、白圓圈四十五個。把這些連在一起的小圓和數(shù)目表示出來，得到九個。這九個數(shù)就可以組成一個縱橫圖，人們把由九個數(shù)三行三列的幻方稱為三階幻方，除此之外，還有四階、五階……
幻方最早記載于中國前五百年的春秋時期《大戴禮》中，這說明中國人民早在二千五百年前就已經(jīng)知道了幻方的排列規(guī)律。而在國外，130年，希臘人塞翁才第一次提起幻方。中國不僅擁有幻方的發(fā)明權(quán)，而且是對幻方進(jìn)行深入研究的國家。
13世紀(jì)的數(shù)學(xué)家楊輝已經(jīng)編制出三至十階幻方，記載在他1275年寫的《續(xù)古摘廳算法》一書中。在歐洲，直到1514年，德國著名畫家丟勒才繪制出了完整的四階幻方。
在國外，十二世紀(jì)的阿拉伯文獻(xiàn)也有六階幻方的記載，中國的考古學(xué)家們曾經(jīng)在西安發(fā)現(xiàn)了阿拉伯文獻(xiàn)上的五塊六階幻方，除了這些以外，歷史上最早的四階幻方是在印度發(fā)現(xiàn)的，那是一個完全幻方（后面會提到），而且比中國的楊輝還要早了兩百多年，印度人認(rèn)為那是天神的手筆。1956年西安出土一鐵片板上所刻的六階幻方（古阿拉伯?dāng)?shù)字）。13世紀(jì)，東羅馬帝國才對幻方產(chǎn)生興趣，但卻沒有什么成果。直到十五世紀(jì)，住在君士坦丁堡的魔索普拉才把中國的縱橫圖傳給了歐洲人，歐洲人認(rèn)為幻方可以鎮(zhèn)壓妖魔，所以把它作為護(hù)身符。
《續(xù)古摘奇算法》上卷首先列出20個縱橫圖，即幻方。其中第一個為河圖，第二個為洛書，其次，四行、五行、六行、七行、八行幻方各兩個，九行、十行幻方各一個，最后有聚五、聚六、聚八、攢九、八陣、連環(huán)等圖。有一些圖有文字說明，但每一個圖都有構(gòu)造方法，使圖中各自然數(shù)“多寡相資，鄰壁相兼”湊成相等的和數(shù)。
楊輝利用數(shù)學(xué)方法尋找規(guī)律，巧妙地構(gòu)造出許多別具風(fēng)格的幻方來，楊輝構(gòu)造的九宮圖，方法簡單又巧妙。楊輝在構(gòu)造了三、四階幻方的基礎(chǔ)上，繼續(xù)對幻方進(jìn)行系統(tǒng)研究，陸續(xù)地構(gòu)造出五階、六階、七階、八階、九階、十階幻方。此外，他還突破了幻方為正方形的限制，將它擴大到不同的形狀。
楊輝對幻方的研究和推廣，大大豐富了這種數(shù)字游戲的內(nèi)容，楊輝的縱橫圖對后世也深有影響，明代程大位、清代方中通、張潮、保其壽等，都曾在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究縱橫圖。直到今天，在國際上一些科學(xué)家利用幻方這種變化無窮的特點，把它作為智力測驗的工具和智力玩具，提高了它在訓(xùn)練人們機智方面的層次。對幻方的深入研究也為人們帶來了新的啟示，將幻方中的自然數(shù)換成一般的物體，也對它們按一定規(guī)則進(jìn)行安排，并進(jìn)一步討論這種安排的存在性問題、計數(shù)問題、構(gòu)造問題和優(yōu)化問題，就構(gòu)成了今天的數(shù)學(xué)分支——組合數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容。古老的幻方作為歷史上最早的組合機構(gòu)，開創(chuàng)了組合數(shù)學(xué)的先河，顯示了中華民族的聰明才智，近代它還被現(xiàn)在計算機程序設(shè)計、人工智能等許多方面都有著廣泛的應(yīng)用。
過去，幻方僅作為一種游戲，近代已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，幻方在哲學(xué)、美學(xué)、美術(shù)設(shè)計、計算機程序設(shè)計、圖論、人工智能、對策論、組合分析等方面有廣泛的應(yīng)用?；梅娇梢詰?yīng)用于哲學(xué)思想的研究。在數(shù)學(xué)中，幻方蘊涵的哲理思想是最為豐富的。《易經(jīng)》是一本哲學(xué)書，它幾乎影響了國內(nèi)外的各種哲學(xué)思想。而易學(xué)家們通過多方面的研究發(fā)現(xiàn)，易學(xué)來源于河圖洛書，而洛書就是三階幻方。幻方的布局規(guī)律、構(gòu)造原理蘊涵著天地萬物的生存結(jié)構(gòu)，是說明宇宙產(chǎn)生和發(fā)展的數(shù)學(xué)模型。
幻方也可以應(yīng)用于美術(shù)設(shè)計。數(shù)學(xué)是美的，幻方更美?；梅绞菙?shù)學(xué)按著一種規(guī)律布局的一種體系，每個幻方不僅是一個智力游戲，而且還是一個藝術(shù)佳品，都以整齊劃一、均衡對稱、和諧統(tǒng)一特殊性，迸發(fā)出耀人的光輝?；梅娇纱罅繎?yīng)用于美術(shù)設(shè)計，西方建筑學(xué)家勃拉東發(fā)現(xiàn)幻方的對稱性相當(dāng)豐富，并采用幻方組成許多美麗的圖案，他把圖案中的那些方陣內(nèi)的線條稱為“魔線”，應(yīng)用于輕工業(yè)品、封面包裝設(shè)計中，德國著名畫家和數(shù)學(xué)家丟勒的作品《憂郁》中，因有一個能指明制作年代的幻方而聞名于世。藝術(shù)美與理性美的和諧組合，往往成為流芳千古的佳作。但長期以來，人們習(xí)慣于把它當(dāng)做純粹的數(shù)學(xué)游戲，并沒有給予應(yīng)有的重視。隨著近代組合數(shù)學(xué)的發(fā)展，縱橫圖顯示了越來越強大的生命力，在圖論、組合分析、對策論、計算機科學(xué)領(lǐng)域中都找到了用武之地。楊輝研究出三階幻方（也叫洛書或九宮圖）的構(gòu)造方法后，又系統(tǒng)的研究了四階幻方至十階幻方。在這幾種幻方中，楊輝只給出了三階、四階幻方構(gòu)造方法的說明，四階以上幻方，楊輝只畫出圖形而未留下作法。但他所畫的五階、六階乃至十階幻方全都準(zhǔn)確無誤，可見他已經(jīng)掌握了高階幻方的構(gòu)成規(guī)律。
楊輝的另一重要成果是垛積術(shù)。這是楊輝繼沈括“隙積術(shù)”之后，關(guān)于高階等差級數(shù)求和的研究。在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中記敘了若干十二階等差級數(shù)求和公式。
楊輝數(shù)學(xué)著作的特點是深入淺出、圖文并茂，很適于教學(xué)，而且有不少創(chuàng)新。另外，楊輝的書中不僅記錄了一些古代有價值的數(shù)學(xué)成果，楊輝在《詳解九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上，專門增加了一卷“纂類”。“纂類”中楊輝提出“因法推類”的原則。正如郁松年所說，《纂類》以“算法為綱”，“以類相從”。這種思想與《九章算術(shù)》相比是一個進(jìn)步，因為《九章算術(shù)》的分類標(biāo)準(zhǔn)并不一致，有的按用途分，有的按算法分。楊輝則突破了原書的分類格局，按算法的不同，將書中所有題目分為乘除、互換、合率、分率、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。
每一大類中，由總的算法演繹出不同的具體方法，并給出相應(yīng)的習(xí)題。例如，“方程”類便依次給出方程、損益、分子、正負(fù)四法，“方程法曰：所求率互乘鄰行，以少減多，再求減損，錢為實，物為法，實如法而一?！边@是解線性方程組的基本方法，此法后的十一個題全是基本類型，可直接列出最簡方程組?！皳p益”指的是移項及合并同類項，分子術(shù)指去分母的方法，正負(fù)術(shù)指方程變換時所用的正負(fù)數(shù)運算法則，各法后分別列有相應(yīng)的具體題目。這種作法體現(xiàn)了由干生枝的演繹思想，方程法是干，損益、分子、正負(fù)三法是枝。再如“勾股類”，共設(shè)38問，分別置于21種方法之后，而第一種方法——勾股求弦法（即“勾股各自乘，并而開方除之”）是后面各法的基礎(chǔ)，這種順序也體現(xiàn)了演繹思想。
楊輝不僅總結(jié)了當(dāng)時的各種數(shù)學(xué)知識，還批評了以往數(shù)學(xué)著作中的一些錯誤，這種作法在楊輝以前的算書中很少見。例如，他在《田畝比類乘除捷法》一書中便批評了《五曹算經(jīng)》中的三個錯誤，一是在田畝計算中用方五斜七之法（即把正方形邊長與對角線之比取作5：7），二是題問概念不清，三是四不等田求法之誤。
楊輝數(shù)學(xué)的歷史地位及影響
楊輝的數(shù)學(xué)著作不僅廣泛征引古代數(shù)學(xué)典籍，更重要的是保留了部分極其寶貴的數(shù)學(xué)史料。楊輝在中國古代數(shù)學(xué)史上占有的地位已經(jīng)不言而喻。他和秦九韶、李治、朱世杰并稱“宋元數(shù)學(xué)四大家”。楊輝和秦九韶同在南方發(fā)展數(shù)學(xué)，但二人的數(shù)學(xué)成就卻各自開花，李治作為北方數(shù)學(xué)的代表，使天元術(shù)得到了更進(jìn)一步的發(fā)展，朱世杰連同了南北數(shù)學(xué)，秉承了北方數(shù)學(xué)的優(yōu)秀，更繼承了楊輝的實用數(shù)學(xué)，為元代以及明代的實用數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)。
《九章算術(shù)》作為中國古代的經(jīng)典數(shù)學(xué)，歷來有多種的版本，傳到楊輝時期，可能在體系和內(nèi)容的編排上有了跟不上時代的地方。比如說有些內(nèi)容過于深奧，體例的安排有些混亂，對于初學(xué)者和普通民眾的學(xué)習(xí)和研究就有了很大的難處。于是，楊輝根據(jù)自己的學(xué)識對經(jīng)典的《九章算術(shù)》的體例安排進(jìn)行改革、對內(nèi)容進(jìn)行大膽調(diào)整。并且在復(fù)雜和枯燥的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上，親自繪圖，作了一整卷的繪圖解說（在流傳過程中丟失了，我們現(xiàn)代人無法親睹其繪圖風(fēng)采），使得深奧莫測的經(jīng)典《九章算術(shù)》不再遠(yuǎn)離人民生活。于是便有了我們現(xiàn)代人所能看到和研究的《詳解九章算術(shù)》。在這部著作里，我們不僅能看到楊輝以經(jīng)典的剖析和解讀，還能大膽提出自己獨到的見解和解題方法，展現(xiàn)了楊輝高超的數(shù)學(xué)才能。更為重要的是，楊輝繼承了北宋數(shù)學(xué)家們的數(shù)學(xué)成就，在自己的著作中引用并標(biāo)明出處，使得我們后人在研究中國古代數(shù)學(xué)史時能夠不斷代，而且為領(lǐng)先世界的數(shù)學(xué)成就找到了史實依據(jù)，讓我們不得不驚嘆和折服我們古代先人們光輝的數(shù)學(xué)研究。
為了使數(shù)學(xué)更好地服務(wù)于生產(chǎn)實踐，楊輝還親自編寫更簡單易學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教材——七卷本《楊輝算法》。在這些著作里，楊輝更是發(fā)揮了自己的數(shù)學(xué)才能，不僅對于數(shù)學(xué)知識能夠做到深入淺出，還能把深奧的數(shù)學(xué)理論編成為普通民眾所樂于學(xué)習(xí)和背誦的歌訣。不僅如此，楊輝《乘除通變本末》開篇的“教學(xué)大綱”更是開創(chuàng)了古代數(shù)學(xué)教育無大綱作指引的先河，成為數(shù)學(xué)史上不可多得的寶貴財富。
楊輝對《九章算術(shù)》的整理，對唐宋以來乘除法簡便運算的發(fā)展，以及縱橫圖的研究等，無不對后世元、明、清的數(shù)學(xué)，甚至是周邊朝鮮、日本以及阿拉伯的數(shù)學(xué)都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。
朝鮮半島與中國山水相連，交通便利，自古便與中國來往不斷。中國的制度、禮樂、文化以及天文歷算等源源不斷地傳入朝鮮。從三國時代開始，朝鮮就一直采用中國的歷法，官方使用漢字作為書面語言，并且學(xué)校的數(shù)學(xué)教育沿用的也是中國算書。
從935年王氏高麗王朝到1392年開始的李氏朝鮮王朝，中國經(jīng)歷了宋、遼、金、元、明大約四百年間的歷史，此期間中朝兩國和平相處。宋元明各代對于探購書籍以及往返通商都有限制，但對朝鮮則特別例外。因此中國大部分?jǐn)?shù)學(xué)典籍著作均傳入朝鮮。明代失傳的天元術(shù)，在朝鮮保存了下來。明初勤德書堂在1378年冬至刊印過的《楊輝算法》，中國已經(jīng)失傳，但朝鮮仍留有刊本。
《乘除通變本末》三卷、《田畝比類乘除捷法》二卷、《續(xù)古摘奇算法》二卷共七卷，總稱《楊輝算法》。此書何時傳入朝鮮，并未有一個確切的時間。但在李氏朝鮮期間，在1431年，明初的洪武《楊輝算法》刊本則被列為官方使用的教科書，和《詳明算法》《算學(xué)啟蒙》等書一起被指定為官方科舉考試取用人才的指定算書。在《楊輝算法》被確定為官方數(shù)學(xué)書之后，李氏世宗又命人重新刊印了此書。即1433年根據(jù)洪武本所刊印的重刊本。此次重新刊印期間，參與刊印的人員達(dá)幾十人之多，這一方面說明李氏王朝對此次刊印算書的重視，另一方面也說明當(dāng)時社會對《楊輝算法》的需求迫切。
十七世紀(jì)之前，朝鮮一直沿用中國算書，并沒有自己本國的算學(xué)著作。直到十七世紀(jì)中期，朝鮮才開始本國自著數(shù)學(xué)著作，并出現(xiàn)了一大批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，使得朝鮮本國的數(shù)學(xué)進(jìn)入了迅速的發(fā)展時期。在此期間，《楊輝算法》一直是作為朝鮮國家考試的指定用書，所以學(xué)習(xí)此書的朝鮮人員數(shù)量便相當(dāng)龐大，流傳廣，普及面大。尤其是從事數(shù)學(xué)的朝鮮數(shù)學(xué)家們更是對《楊輝算法》進(jìn)行了深入研究，并在自己的著作中大量引用楊輝的數(shù)學(xué)成就。
十七世紀(jì)到十八世紀(jì)是朝鮮數(shù)學(xué)興起和發(fā)展的重要時期，在這一時期，不僅是朝鮮數(shù)學(xué)家們對《楊輝算法》進(jìn)行研究和探討，普通的知識分子也在學(xué)習(xí)。因此，《楊輝算法》對朝鮮數(shù)學(xué)人才的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)知識的傳播和普及以及數(shù)學(xué)的研究和著述等方面無疑是起到了巨大的作用。
明代前期，在中日對外貿(mào)易中，中國的文化典籍等也被輸入日本。十七世紀(jì)后期以來，隨日本數(shù)學(xué)家引進(jìn)、吸收中國算學(xué)工作的深化，其工作重點已經(jīng)從研究明代數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向了研究宋代數(shù)學(xué)為主，在傳入日本的宋元數(shù)學(xué)著作中，《算學(xué)啟蒙》和《楊輝算法》是其中流傳最廣、影響最大的兩部著作，它們對日本數(shù)學(xué)的高度發(fā)展起到了重要的奠基作用。
最早研究《楊輝算法》的是被稱為“日本算圣”的數(shù)學(xué)史家關(guān)孝和。關(guān)孝和抄寫并訂正了由朝鮮傳入日本的朝鮮覆刻本《楊輝算法》，所以《楊輝算法》對關(guān)孝和的數(shù)學(xué)工作產(chǎn)生了很大的影響。《楊輝算法》中的解高次方程的方法、求同余式組的解法、重差術(shù)及縱橫圖等，無不影響著關(guān)孝和以及其弟子對數(shù)學(xué)的研究工作。其著作《大成算法》中更是多次引用《楊輝算法》的內(nèi)容。
另外，關(guān)孝和對縱橫圖的研究也是師承楊輝，并有著作《方陣之法·圓攢之法》。在書中附圖多幅，三附至十階俱全，分別稱為三方陣、四方陣……十方陣，除三方陣與洛書圖相同外，其余圖形均為自己獨立創(chuàng)新。
作為一個數(shù)學(xué)家，楊輝在實用算術(shù)和高等數(shù)學(xué)以及幾何學(xué)等方面都做出了巨大的貢獻(xiàn)；作為一個數(shù)學(xué)教育家，楊輝為數(shù)學(xué)的普及及實用盡心盡力。雖然楊輝本人的生活境況并未留下更多的文字記載，使們后人對于這樣一位偉大的數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)教育家少了很多的了解，但楊輝的數(shù)學(xué)成就還是通過他的數(shù)學(xué)著作保存和流傳了下來。盡管在流傳的過程中，散失了部分，然而我們依然可以通過保留下來的作品窺見楊輝的偉大。
楊輝生活在南宋末期，社會的動蕩，封建體制的弊端，都對楊輝本人為數(shù)學(xué)的發(fā)展和推廣造成了困難和缺憾，甚至說是不足，但這些歷史造成的局限掩蓋不了楊輝作為一個中國古代數(shù)學(xué)巔峰時代——宋元時期的代表人物的偉大和光輝
